On QI (2): Entanglement criterion


判断一个系统是否处于纠缠态,现在仍旧是一个没有完全解决的问题。这实际上是量子信息研究的一个专门的分支。我对这个问题只是了解一星半点,这里我就自己了解的部分讲一讲。

我仍旧从两体纠缠态开始讲起。现在常见的纠缠的度量,或者判据有这么几个:1,部分熵纠缠度(the partial entroy of entanglement);2,相对熵纠缠度(the relative entroy of entanglement);3,形成纠缠度(entanglement of formation);4,可提纯纠缠度( entanglement of distillation);5,Peres-Horodecki 判据,以及依照它引入的负度(negativity)。这其中前4个判据都源自经典信息论中的香农熵而得到的量子的冯.诺依曼熵。由于这些概念需要信息论的知识,我自己也只是一知半解。有兴趣的可以参考这篇文献:RMP 74, 197 (2002)。为了更加物理的来理解纠缠,我选择先讲讲最后这个判据。

Peres-Horodecki判据是由Peres于1996年提出来,并由Horodecki兄弟完善的。这个判据的物理思想非常简单。我们知道任意一个实际存在的量子态对应的密度矩阵必定是正定的,而且对这个密度矩阵的转置必定也对应一个实际可能存在的量子态。我们有一个两体系统,如果它们是可分离的,可以表示为两个子系统的密度矩阵的直积按照概率叠加。对其中任意一个子系统对应的密度矩阵做转置,系统新的密度矩阵就是把其中一个子系统对应的那一组密度矩阵做转置然后与另外一个子系统的密度矩阵直积之后按照概率叠加起来。由于这个转置之后这个子系统对应的密度矩阵是正定的,所以得到的新的密度矩阵也是正定的。这个判据是可分离态的必要条件。换句话说,如果我们对一个子系统做完转置之后得到的新的密度矩阵不是正定的,那么我们可以确定它不是可分离态,也就是说这两个子系统处于纠缠态。Horodecki兄弟已经证明了,对于子空间为2*2 和 2*3的两体系统,这个纠缠判据是充要的。但是对于更复杂的两体问题来说,这个判据只是纠缠存在的充分条件。有一些纠缠态对应的密度矩阵即使做了部分转置也没有负的本征值。关于Peres-Horodecki判据,可以参考下面的文献:PRL 77,1413 (1996); PLA 223, 1 (1996); PLA 232, 333 (1997)。

在Peres-Horodecki判据的基础上,人们又定义了负度来度量纠缠的大小。负度的定义就是把做完部分转置之后得到的密度矩阵的所有负本征值求和然后乘以2。负度并不是一个非常好的度量纠缠大小的量。但是由于Peres判据具有非常广的应用范围,所以我们经常用负度来度量纠缠。什么才是好的纠缠度量呢?我们知道,可分离态的纠缠度应该是零。纠缠应该是一个非局域的量,所以对某一个子系统的局域幺正变换不应该改变纠缠度,而且对局域操作与经典通讯不能使得系统的纠缠度增加。最后对于直积态,纠缠度应该是可加的。这4个条件是很苛刻的,负度不满足最后这个条件。

最后讲点题外话。这三位Horodecki兄弟父子总是一起发论文,兄弟父子三人都成为物理学教授又共同研究同一个课题的情况还真是很少见。

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6 Comments

  1. 看完你的blog,发现自己虽然也在这个方向学习,但是跟你差距太大了,要向你学习啊!自我介绍一下,我是国防科大的博士生(一年级),主要研究方向是量子信息,已开展的实验只有量子密码分配。关注你的blog,呵呵,有空联系啊。我的email:mugualaw@hotmail.com

  2. 呵呵,自然参考了文献和书籍的,不过确实是我写的。最近正在做有关纠缠判据的问题,写这篇日志就当是总结一下我以前看过的文献吧,也方便我自己做工作时能够有一个清晰的物理图像。

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