On QI (3): Multi-party Entanglement


前面讲的都集中在两体纠缠上,现在我简要的介绍一下我了解的多体量子纠缠。

以三体纠缠态为例,人们发现有两类三体纠缠纯态:一类是GHZ态,一类是W态。 它们不可能通过局域幺正变化来相互转换,也不可能写成一个两体纠缠态与另一个量子比特之间的直积态。为了讨论的方便,我这里写出GHZ态与W态的数学表达式:

|GHZ> = (|111> + |000>)/\sqrt{2}

|W> = (|100> + |010> + |001>)/\sqrt{3}

这里的0和1代表量子比特可能处的两个正交态。依据这两个最简单的多体纠缠态,我们可以发现多体纠缠与两体纠缠之间有着极大的区别。 比如说我们对这两个纠缠态中的任意一个量子比特做投影测量,把它投影到|0>或者|1>。对GHZ态来说,不论测得哪个结果,剩下的两个qubit都会被投影到可分离态上去。对W态来说,如果测得1,剩下两个qubit就被投影到了可分离态|00>,而如果测得0,剩下两个qubit会被投影到两体的Bell态。我们发现被投影到可分离态的概率是1/3, 被投影到Bell态的概率是2/3。换句话说,这两类态对测量表现出不同的“抵抗力”。不仅如此,如果我们对GHZ态的投影测量基不再是|0>和|1>,而是(|0>+|1>)/\sqrt{2} 和 (|0> – |1>)/\sqrt{2},我们会发现此时GHZ态就被投影到了Bell态。对于N体系统类似于上面的定义,我们也可以定义GHZ态和W态。关于GHZ态于W态的详细讨论,见这篇文献:Phys. Rev. A 62, 062314 (2000)。

在2001年的一篇PRL中(PRL 86, 910 (2001)),为了标度这些不同的“抵抗力”,定义了两个量:一个是最大联络(maximal connectedness),另外一个是纠缠阻抗(persistency of entanglement)。 前一个量表示对某一个N体纠缠态中qubit做局域投影测量,其中任意两个qubit都能够被投影到最大纠缠的Bell态。后面一个量标志着把一个N体纠缠态转换成完全可分离态所需要的局域测量的次数。我们可以看到,仅仅用一个强度参数可以用来标度两体纠缠的大小,可是对多体纠缠来说,一个参数就不够了。多体纠缠特性与纠缠态内部的构型有关。如果我们把每个qubit看作是一个格点,把qubit之间的纠缠用一条直线来表示,我们会发现多体纠缠态就可以用一个图来表示。讨论多体纠缠态,需要仔细分析格点之间的关系,也就是说可能会用到图论的知识。这类量子纠缠态被成为Graph state,cluster state就是一种典型的图态。如果粗略的定义cluster态的话,那么其中的相邻两个qubit之间处于最大纠缠的Bell态。这里的“相邻”不是位置空间上的,是某种相空间上的相邻。cluster态的精确定义见本段开始时引用的PRL。我相信对多体量子纠缠特性的研究还不充分,还需要做更多的工作来揭示其性质。

对多体纠缠态的研究不仅仅具有理论上的意义,实际上是很有应用价值的。比如cluster态,就可以作为一种资源,实现量子计算(见我以前的一篇blog)。另外,多体纠缠态也与量子多体问题有关系。人们相信量子相变发生时系统的基态应该就是一种多体纠缠态,具有高度的纠缠性。如果我们看一看cluster态的原始定义,我们会发现它是在Ising模型哈密顿量作用下演化而成的。我们知道Ising模型是凝聚态物理中一个非常重要的模型。人们最早也是希望能够从光子晶体等具有Ising模型哈密顿的系统中制备cluster态,从而实现单向量子计算。研究量子信息与研究量子相变的人尽管都对多体量子纠缠感兴趣,可是关注点不同:前者关注的是更好的对多体量子纠缠进行分类,度量等;后者关注的是找到一种好的纠缠度量来标度量子相变。这种视角上的差异让我们可以从多个方面来了解多体量子纠缠,也就是学科交叉的好处所在。

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