月度归档： 2016年7月

用腔QED研究量子行走的拓扑转变


先把我8年前的blog文章转载在这里

最近读文献，读到了一篇理论推导非常简单，得到的结果却很有趣的论文。这篇论文的题目是《Topological Transition in a Non-Hermitian Quantum Walk》。 题目中有拓扑这个关键词，看起来蛮有意思的，也似乎很难，但实际上理论推导很简单。这篇论文讨论的是一个电子在互相耦合的双量子点间输运的过程中，能否极化量子点周围的核自旋的问题，却发现了一个非常漂亮的拓扑转变现象。极化能否发生，只依赖于两个互相竞争的耦合参数之间的比值，与其他的经典噪音没有关 系，这正是拓扑转变带来的健壮性。

对一个双量子点系统来说，包含很多相互作用，比如外加的电场，量子点之间的隧穿耦合，外加磁场带来的Zeaman分裂，电子与核自旋之间的超精细耦 合，电 子的自旋轨道耦合，等等。对这个系统，我们在自旋阻塞效应区考虑电子的输运。所谓自旋阻塞（spin blockade）就是说，假设两个量子点中各有一个电子，如果这个两个电子的自旋方向相同，那么就不能发生隧穿，因为隧穿后的状态被Pauli不相容原 理所阻止。那怎么才能让输运发生呢？只有让一个电子自旋翻转。在这个系统中，我们可以通过自旋轨道耦合让一个电子翻转，也可以让电子与外部的核自旋耦合， 在核自旋的帮助下翻转电子自旋。翻转后电子处于自旋单态，就可以自由的隧穿过去，然后进入外部的电极了。这个过程可以认为是电子的衰减过程。

这篇论文用到了带有衰减项的非厄米哈密顿，写出相应的薛定谔方程，解方程就得到了最后的结果。在哈密顿中，我们要考虑自旋轨道耦合和电子核自旋超精细耦合两种机制。由于核自旋数目一般为10^5以上，所以这里我们可以假设核自旋数为无穷大。对于不同核自旋状态，用m代表。由于电子自旋与核自旋耦合，所以这个电子系统实际上是在核自旋组成的虚拟一维 晶格上进行无规行走，直到最终衰减。我们要计算最后的这个系统的平均核自旋的改变量。初始时我们假设m为0。为了方便计算，我们可以做一个傅立叶变换，从 晶格指标m变换到动量指标k，然后在第一布里渊区进行积分。经过简单的数学运算，我们发现，m的变化量就等于一个围道积分。积分可能会含有一个奇点，也可能不含奇点，这取决于自旋轨道耦和电子核自旋耦合的大小。所以m的改变量的平均值可能为0，也可能为1，只有这两个取值。在它们相等的这个点，m的取值发 生了突变，这个突变就是一个拓扑转变。m与初态的本征能量无关，也与电子衰减率无关，可以说是对这些经典噪声免疫。
Rudner, M., & Levitov, L. (2009). Topological Transition in a Non-Hermitian Quantum Walk Physical Review Letters, 102 (6) DOI: 10.1103/PhysRevLett.102.065703

当年我读完这篇文章后，觉得很好，就写了博客记录下来。 实际上，当时我还把这篇论文给推导了一遍，弄懂了它的理论。这些年来，一直念念不忘，希望能就这个问题做点东西。

去年，姚班2013级的本科生黄逸洲来跟我做了一段研究训练后，我想到了这篇文章，就把当年的笔记给他，让他去读读。当时我的想法是我们中心有超导腔QED的实验平台，我们可以把这篇文章的结果在腔QED系统中验证一下。从新调研最新的文献之后，我们注意到，这个模型与最近非常火的PT对称的量子力学模型有很深刻的联系。这还是很有意思的。仔细的研究之后，我们发现实验验证难度太大。于是就退而求其次，看看能否把手头的东西写成一篇理论文章。

在写论文的过程中，黄逸洲从数值上发现，这个拓扑保护的性质不仅对自发辐射不敏感，同时也对量子比特的退相位也不敏感。于是，他又回过头来用理论证明了这个结论，并把它推广到了高维情况下的量子行走模型。做到这一步，我觉得足够了，就把论文投稿给了Phys Rev A。

论文投稿后，一审意见是大修，审稿人对我们的写作很不满意，对其中的理论模型也有很多疑问。我们花了一个多月重新画图，增添了对理论模型的讨论和推导过程，同时把论文的表述也做了很大的调整后，又经历了一次小修，论文终于接收了。黄逸洲是2013级清华大学姚班的学生，现在是他大三暑假，将以第一作者的身份在Phys. Rev. A上发表论文。而我自己发表第一篇论文，已经是博士一年级了。 这也是我作为通讯作者，带领学生发表的第一篇论文。

我不仅是黄逸洲的科研导师，也是他们班的班主任。据我所知，他们班已经有多位学术在主流的学术刊物或者会议上发表论文。比如说陈立杰同学，刚刚在机器学习的著名会议COLT上发表论文；范浩强同学，大一就在国际学术会议上发表论文。今年姚班的二次招生宣讲将会于8月17日在清华学堂102举行，欢迎各位清华大学的新生们积极报名！

扭动光力学


最近普渡大学李统藏教授组做了一个实验，在光束缚纳米金刚石系统中观察到了扭动自由度的运动。我们作为理论合作者，研究了如何用光学腔对这个模式进行边带冷却，以及基态冷却的条件，并估算了扭动模式的衰减速率。我们共同撰写了一篇实验结合理论分析的论文。李统藏组在实验中偶然发现，光束缚的纳米金刚石系统的声子谱中，除了100kHz附近的一个尖峰信号（对应于平动自由度）外，在1MHz附近还有一个未知的尖峰信号。为了解释这个信号，他们又做了一系列的实验。比如说改变气压，他们发现不同气压下，这个信号的频率基本不变。由于转动的频率与空气的阻尼有关系，因此信号频率与气压不变的特性基本排除了转动这个可能性。他们又改变了光束缚的功率，发现这个信号的频率与功率的平方根成正比，同时平动自由度的共振频率与这个未知信号的频率之比是不变的。这正好与理论上算出的扭动模式频率与束缚激光功率之间的关系一致。因此，可以断定，这个未知的信号就是来自扭动模式。

同一个光势阱中，扭动模比平动模的频率通常要高一个量级。理论上分析发现，只要纳米粒子不是球对称的，扭动的频率就会与平动的频率解除兼并。用椭圆来进行理论建模，发现当长轴比短轴长一倍时，扭动与平动模频率的比值最大，可以达到近三十倍。由于扭动衰减率跟平动模式的衰减差不多，且扭动模与光学腔模的单光子耦合强度比平动模式的耦合强度差不多，因此冷却扭动模式到量子基态附近会更加容易。

在光力学的研究中，到目前为止，几乎所有的实验都只涉及到平动力学模式与光场的耦合，只有极少数几个实验看到了转动模。而通过实验直接看到扭动模与光场耦合的，据我所知，这是第一个实验。特别要指出的是，这个实验没有什么特殊的设计，只需要用线偏振的激光抓住非球形的纳米介电颗粒即可。在线偏振的光势阱中，纳米粒子的长轴将会指向线偏振的方向，并会在这个方向附近做扭动。我们相信这个发现对未来研究宏观系统的量子叠加态，以及对测量电子或原子核自旋带来的微小扭矩都有重要的价值。

物理学的理论研究有两类，一类是预言新的实验现象，一类是解释新的实验现象。我们做的这个工作是典型的解释实验的理论，这也是我第一次参与这种类型的研究。我从事的量子信息的理论研究，大部分是预言新的实验，设计新的方案。这次我能有机会直接接触到新的实验数据，并用物理模型进行分析与解释，进而设计新的理论方案，实在是难得的经历。

我的学生马越对这个工作做出了重要贡献。大四下学期刚开始，她已经完成了那篇加热导致冷却的论文，对光力学的理论工具非常熟悉。当她进行毕业论文选题时，正好李统藏教授告诉我，他们在实验上看到了扭动模式，希望大家一起合作进行理论分析。于是我就建议马越来研究这个，作为她的毕业论文。她的进度远远超出了我们的预计，做了一个多月就把理论分析给算完了，这也就成了她毕业设计的一部分。正是由于她的高效率，我们得以在5月就完成了论文并投稿。

大四的后半学期，马越也没有闲着，她又完成了一个相关的理论工作。总结一下，马越同学在大四这一年，完成了三个高质量的工作，这个效率已经与高年级的优秀博士生差不多了。马越即将毕业，将会去英国帝国理工念量子光学与量子信息。我相信未来她还会做出更多更好的工作。

到此为止，跟我做科研训练的四位毕业生，孔令航，马越，徐达和徐启东，我都写文章记录了与他们合作的经历和论文的情况。我把相关的文章链接放在这里

今天是清华大学本科生的毕业典礼。匆匆写完这篇文章，算是对我与学生们的合作有了一个交代。今年是我带的第一批本科生毕业了，过去这几年与学生们合作经历给我非常美好的回忆，值得记录。