多体自旋中的时间准晶

论文已经贴到预印本网站了：[1709.07657] Symmetry-breaking dynamics of the finite-size Lipkin-Meshkov-Glick model near ground state

做研究，系统性是很重要的，很忌讳追求热点，东一榔头、西一棒子的做东西。但实际上，我们选择研究题目的时候，不可避免的会受到热点的影响。2012年，时间晶体这个概念刚刚提出的时候，还不是热点题目，我有幸参与了一下，发表了一篇有影响力的论文。后来我一直都想继续在这个题目下做研究，可很快就发现，学界对时间晶体一片质疑之声。找到这些质疑的论文，越读越觉得底气不足，于是我就去做薛定谔的细菌，量子纠缠历史等其他有趣的题目了。不过我一直都对时间晶体保持关注。

2016年，突然出现了两篇实验论文，宣称做出了时间晶体。两篇论文的共同理论合作者是Norman Yao，加州大学伯克利分校的助理教授。还记得六年前，我来清华找工作，面试通过后顺便访问了一个月。Norman Yao 还是哈佛大学的博士生，也来清华大学访问了几天，我陪他吃饭聊天。他当时已经在量子多体物理理论方面做了很多好工作。现在靠着在离散量子时间晶体方面的工作，又一举成名了。我仔细读后发现，他们从新定义了所谓的离散时间晶体，放弃了基态平衡态的要求，在受到周期性驱动的开放多体系统中，看到了时间平移对称性的自发破缺。我知道，机会来了，现在是我再次进入时间晶体研究的好时候。在那时候，我的学生黄逸洲要定大四毕业设计的题目，我跟他商量之后，就决定把离散时间晶体作为他的研究题目。我们刚刚研究了用金刚石色心自旋来模拟多体物理中的Lipkin-Meshkov-Glick 模型，对它比较熟悉，就决定探讨一下基于Lipkin-Meshkov-Glick 模型的周期性驱动下的时间晶体是否存在。黄逸洲做了几个星期，就确认了LMG模型中，是存在周期驱动下的离散时间晶体的。可与此同时，预印本网站上也出现了一篇论文，研究的就是LMG模型中的离散时间晶体。基本上把我们想要做的都做完了。于是这个题目只能存在黄逸洲的毕业论文里面，无法写论文发表了。

之后不久，我接收了西安交大本科生黄奕来做暑期科研。黄奕刚从美国加州大学伯克利分校访问了一个学期回来，在凝聚态物理方面做过一些科研训练。看到时间晶体这么火，我建议他也做做。这一次不能再跟风了，我们得回到原始定义的论文，弄清楚争议与难点所在再说。黄奕花了一个多月，阅读了相关文献，搞清楚了经典时间晶体和量子时间晶体的核心思想。要在基态附近实现时间晶体，就要构造一个系统，哈密顿量具有奇异性。最终他确认，在具有离散能级的有限尺寸量子系统中，寻找量子时间晶体是最可行的途径。可这方面的模型已经有了，那就是我们的基于离子阱的量子时空晶体方案。

当初因为我们的论文被批评得太厉害，才没有继续做下去。这次如果继续照着这个思路做，会不会又被人批？我们又回到了原点。还好，经历了五年的磨练，我更加自信，经验也更多了。既然不得不照着这条路走，那么就得尝试点新东西。我们的量子时空晶体模型，是基于真实的离子阱系统的，其角动量由于环形势阱尺度很小，所以就变得离散了。这一次，我们为什么不直接在离散的自旋模型中做呢？用角动量 对应于离子的角动量， 对应于离子的角度坐标，代到量子时间晶体论文中的哈密顿量，然后化简之后，神奇的事情发生了，我们得到的哈密顿量，从形式上就等价于LMG模型。这暗示说，LMG模型的量子基态，考虑到自发对称性破缺后，很可能会出现时间晶体。

我和黄奕都很激动，他赶紧去阅读相关的文献，对有限系统的LMG模型基态行为进行分析。幸好，我们的上一个工作在这上面已经打好了基础。他只需要在此基础上进一步做下去就行。虽然课题的出发点是想重续前缘，补上在时间晶体研究上的缺憾。可走到后来，却发现它实际上促使我们去研究大量但有限个自旋的LMG模型基态附近自发运动的动力学，是我前一个研究工作的延续。科研的乐趣就在这里，始终会有意想不到的东西等着你。

很快黄奕就解析地证明了，LMG模型处于铁磁相区域内，在量子基态附近一旦局域化，是有振动的。这是一个纯粹的量子效应，频率与自旋数N成反比，这个机制与量子时空晶体自发转动的机制是类似的。不仅如此，我们查到以往人们估算过这个局域化之后的状态与真正基态之间的能量差，发现它以N指数的倒数来逼近于零。或者说这个态的寿命随着N增加，以指数增加。正好李统藏教授来清华开会访问，我们找他讨论后，确认这个想法很靠谱。我们决定马上开始合作写论文。但是好像还差一点东西，那就是还没有数值解的侧面验证。

好不容易把代码写好，代入了几个例子，发现自旋数为100，1000时都与理论很符合，于是放心写文章。后来有次我们讨论时，突然想试试看旋转频率与自旋数的依赖关系是否完全符合理论，却发现振动的波形很奇怪：有的时候是标准的正玄曲线，有的时候却又是杂乱无章的振动。做了傅里叶分析后发现，其中至少有两个频率。于是我们又回过头去检查解析的推导。经过一段时间的努力，我们完善了解析分析，证明了这个系统的基态振动具有两个特征频率。其中一部分由于系统能级的离散性，另外一部分来自自旋算符之间的对易关系不为零。这种由于自旋对易关系不为零而导致的自发振动，以前的量子时间晶体理论中没有发现过。

既然这个模型有效的基态天然存在两种频率的振动，如果两个频率之比是无理数，那不就形成了时间上的准晶体吗！我们研究离子阱量子时空晶体时曾经预言过这个现象的存在。最近，有人在开放的非线性系统中，也讨论了时间准晶体的存在可能性。但是在多体自旋相互作用的LMG模型的基态附近，天然出现时间准晶体，实在出人意料。

黄奕用更精确的解析解与数值解比较后，发现二者几乎完全重合的，这表明了我们的理论确实靠谱。不过，这个模型是无法做到热力学极限的。因为当自旋无穷多时，内部的能级就趋近于连续，量子效应导致的基态附近的自旋震荡频率就趋近于零了。实际上，当自旋有几百个时，系统的对称性就很容易被微小的扰动破缺掉了，其大小跟自旋数目 成反比。自旋波函数局域化之后的状态能量比基态也只高大概 。所以当N很大时，这个状态会长时间保持（正比于 ），非常稳定。此时，与热力学极限下的多体自旋模型的自发对称性破缺机制就很类似了。在写论文的时候，犹豫再三，我们还是不敢把时间晶体这个关键词放到论文的标题上。做不到热力学极限，称它为时间晶体，很难得到同行的认可。但我们心里清楚，论文研究的就是量子时间晶体现象，我们发现基态附近的时间准晶体有望存在。

Polchinski自传的一些笔记

2016年的“基础物理学突破奖”颁发给了三位弦理论家，共享300万美元。三位获得者分别是Joseph Polchinski，Andrew Strominger和Cumrun Vafa，以表彰他们在弦理论及其对黑洞、宇宙的意义方面取得重大突破。实际上，在2015年，Polchinski就已经患了脑癌（他自己写为brane cancer），做了好多次手术，丧失了研究理论物理的能力。他写了一本自传，今天贴到了arxiv，[1708.09093] Memories of a Theoretical Physicist，里面有很多有趣的故事。我分享在这里。

Polchinski他从小就有超常的智力。六岁时就痴迷于阅读科学画报，所以做错事受到的惩罚，就是不给他买最新一期的科学画报。他中学时所学习的最高级的数学是高等代数，由他们学校的足球教练授课。这自然不能满足他的求知欲，于是就去大学里旁听微积分，却大受打击。后来自学群论，也没有成功。于是高中有两年没有学新的数学。他业余喜欢读科幻小说，下国际象棋等等。去加州理工上大学后，完全被物理迷住了，于是再也没有碰过棋盘。

在加州理工期间，费曼是他的偶像，索恩是他的新生导师，他的同学Zajk是天才的物理少年，刚刚入学，就已经读完了三卷本的费曼物理讲义。在同辈压力下，他疯狂的学习物理，并参与到科研实习中去。在伯克利念博士期间，他选择了一个爆难的题目，结果一篇论文都没有发表，只写了一篇毕业论文就毕业了。还好，在导师的强力推荐下，仍旧获得了斯坦福的博士后职位。第一个博后，两年期间也只写了3篇论文。但仍旧获得导师强力推荐，拿到了哈佛大学的博后职位。他哈佛的博后老板见到他的第一句话是，哦Polchinski，我知道你是那个不喜欢写论文的家伙，让我们开始写点论文吧。于是，两个月后他在哈佛的第一篇论文就完成了。这之后他才开始持续的产出研究论文。在回忆他早期的这几篇论文时，通常的口吻都是，这工作三十五年来只被引用了三次……

他的助理教授是在德州大学奥斯丁分校拿到的，属于温伯格领导的研究组。那里有很多人研究弦论。他当时指导了不少中国学生。再提到一篇与学生合作的论文时，他很有歉意，因为他没有按照字母顺序把学生放到第一作者，而是自己作为第一作者。因为他做得太快了，把绝大部分工作做完了，论文也几乎是自己写完的。他后来反思，这样对学生并不好，无法让学生得到训练，也没有拿到足够的学术上认可。他在德州带的学生大部分都转行没有继续做物理了。实际上，后来他在D膜上的突破，革命的种子就是埋藏在德州的这几个与学生合作的论文中。可惜他太过于害羞和内向，并没有到处宣传自己的工作，让他人关注，否则他对物理学的推动力会更早体现出来。

Polchinski也做过一些与科幻有关的研究，比如说跟虫洞时间旅行有关的Polchinski悖论和超光速通讯的EPR电话。温伯格为了探寻量子力学是否必然是线性的，构建出了一个一般性的非线性方程，可以与实验相比较。为了满足实验数据，方程的非线性必须很小。Polchinski研究之后发现，如果量子力学是非线性的，那么EPR悖论中的超光速信息传递将会是不可避免的。如果要想避免这个问题，那么量子力学的多世界图像中，不同的波函数分支（世界）之间就不可避免的能够通讯。也就是说温伯格的非线性量子力学方程将允许我们建造出EPR电话，实现超光速通讯，或者可以做出Everett电话，实现不同世界分支之间的通话。读者们，请尝试一下，看看你能否找到Polchinski证明超光速通讯EPR电话的思路。

经历了几年在德州大学奥斯丁分校温伯格研究组的助理教授生涯，他搬到了UCSB。Polchinski一直确信自己很聪明，研究物理学，是希望能够回答世界最基本的问题。但是1988年36岁时，他发现自己仍旧没有做出任何改变理论物理学发展方向的工作，与同辈人比如Witten相比，他对物理学的贡献不值一提。于是他决定写一本弦论的教科书，这本书花了他八九年才写完。在他四十岁之后，写书的过程中，他有关D膜的论文终于震撼了弦论学术界，促成了第二次弦论革命。后来他又写了弦多重宇宙理论和黑洞火墙，都震撼了整个领域。正当他处于研究黑洞火墙的高产期时，脑癌击垮了他，终止了他的学术生涯。

如果Polchinski在四十岁时就患上脑癌，失去科研能力，那么他也不过就是一个优秀的理论物理教授。可是四十岁之后，他终于爆发出无与伦比的创造力，成为一代宗师。真可谓是大器晚成！他在回顾自己的研究风格的时候，说自己对于热门研究都是跟得很慢的。那些所有人都能做的题目他不会去做。一般都是等风潮过去后，他去看看有没有遗漏的好东西。但不要以为接近40岁还没有发表重要学术论文你，也能成为下一个Polchinski，他可是被温伯格和Witten都称为自己见过的最聪明的人。

时间晶体

经典时间晶体模型

时间晶体这个概念提出时，就分成了两种，一个叫量子时间晶体，一个被称为经典时间晶体。对量子时间晶体的争议与讨论很多，但是对经典时间晶体，人们的关注度似乎不大。为什么呢？

我们知道，通常经典的封闭物理系统，其基态是看不到任何运动的。从经典的哈密顿量力学，可以很容易的证明这一点。比如说，一个系统的坐标为 ，其机械速度为 ，这里H是哈密顿量，p是广义动量。如果系统哈密顿量是p的连续可导函数，那么当H取最小值基态时，系统的机械速度必然就是零。

那么，基态具有非零的机械速度的经典时间晶体又是如果构造出来的呢？我们必须从数学上设计出一个对动量不连续的哈密顿量。在经典理论力学中，拉氏量比哈密顿量更基本。于是可以从数学上写出一个连续的拉氏量，但是从拉氏量转换到哈密顿量时，会出现不连续。比如说，Wilczek论文中所构造的那个模型，其哈密顿量就是一个不连续的多值分段函数。特别是系统的基态处是不连续的奇异点，因此具有非零的机械动量。

这种数学上有奇异点的模型，在实际中很难找到，只能算是一个玩具模型。为了寻找经典时间晶体，也许要求助于广义相对论。在极端的相对论情况下，系统拉氏量转换为哈密顿量可能会出现奇异性，从而出现时间晶体效应。但那时候，时空一体，不可区分，是空间晶体还是时间晶体，似乎都差不多。

总之，时间晶体的经典模型，数学上没有问题，但是物理实现上存在很大的困难。

量子时间晶体模型

前面提到了，从经典力学出发，我们必须构造一个具有奇异性的多值哈密顿，才能在经典的力学系统中看到时间晶体现象。但我们知道，从经典力学过渡到量子力学，一个很大的区别就在于，量子力学中，考虑一个有限系统，能级是分立的，系统中所能取到的动量也可能是离散的。经典力学中的公式 无法适用了。因为此时哈密顿相对动量p就不再是一个连续函数。因此，系统即使处于量子基态，其机械动量的平均值也可能不是零。

一个典型的例子，就是带有非零非半整数磁通的纳米尺度的环形电路，即使是基态，也会有非零的电流。但是，只有非零的动量，也不能算是时间晶体，还必须有时间上周期性的振动。所以，必须让系统出现波函数的局域化。对于环形电路来说，就得考虑电子之间有相互作用，出现孤立子。这也是Wilczek的原始物理想法。但是很可惜，由于孤立子是很容易形变和压缩的，因此其基态其实并不转动。Wilczek的想法并不成立。

我们想到的是，用带电的粒子，相互排斥，在环形势阱中形成Wigner晶体，然后再加上磁通，就有非零的动量。此时系统会同时在时间与空间上结晶。Wigner晶体不会形变，所以其基态是有非零角动量的。但是很快被人质疑，说这个系统是无法做到热力学极限的。确实，如果把环的尺度做到无穷大，那么系统的量子效应就消失了，自然不可能有自发的转动。

实际上，真实的物理系统，都是有限尺寸的，在有限尺寸系统中，如果考虑量子效应，应该可能看到量子时间晶体效应。随着系统尺度的增大，要看到时间晶体效应的条件将会越来越苛刻。但如果尺度太小，时间晶体态又太脆弱，不容易观测。对这个问题，人们还有争议。有限尺寸的系统基态附近能否定义量子时间晶体，并未达成一致。

离散时间晶体

2012年，Frank Wilczek提出时间晶体这个概念之后，引来来很多质疑与批评。首先就是有人发现，Wilczek有关量子时间晶体的模型是有问题的。紧接着，又有人指出，对非常广泛的一类物理系统的基态平衡态，时间晶体都是行不通的：[1306.6275] Impossibility of Spontaneously Rotating Time-Crystals: A No-Go Theorem和 [1410.2143] Absence of Quantum Time Crystals。我们所提出的量子时空晶体模型，也被人质疑了。

对时间晶体的争议虽然很大，但是其核心概念“时间平移对称性的自发破缺”确实很吸引人，能否找到一个物理系统演示出这个效应？为了避开前面的那些“行不通定律”，人们开始考虑非平衡态的动力学行为？2015年，Krzysztof Sacha 发现在周期性驱动的冷原子系统中，系统的响应周期可以是外加驱动的周期的两倍。他认为，这正好体现出了时间平移对称性的破缺。进一步的，2016年，人们提出了周期性驱动时间晶体，或者离散时间晶体的概念。

离散时间晶体是很奇怪的一个系统，对它进行周期性驱动，由于所谓多体局域化效应（Manybody localization），它不会热化，将会长期的处于一个非平衡态。此状态也是周期性的，但是其周期比驱动场的周期T要长，是nT，这里的n是大于1的整数。由于系统的时间平移不变性单位是nT，比驱动场的周期T要长，所以系统出现了时间平移不变性的破缺。做一个形象的类比，我们敲一个鼓N下，结果它只发出N/n次声音。由于离散时间晶体不要求系统处于量子基态附近，相对而言实验验证较为容易，因此很快就在离子阱系统和金刚石色心系统中得到了验证。需要指出的是，离散时间晶体不会热化，所以也跟通常非线性导致的频率变化效应有区别。

离散时间晶体做出来后，给了人们很大的信心。一部分科学家在进一步探索不同的物理模型中，周期性驱动下能否出现离散时间晶体现象，甚至连时间准晶体都有人进行了探索（实际上在我们量子时间晶体论文中，已经预言了时间准晶体）。另外一部分人回到原始的定义，寻找量子基态附近的时间晶体。最近Wilczek教授就提出了一个新的理论模型，无需周期性驱动。这个想法能否走通，还有待人们进一步探索。