Entanglement, macroscopic quantity and quantum phase transition

自从1935年EPR三人发表那篇著名的论文以来，有关量子力学是否是非局域的研究正式的成为物理学家一个非常感兴趣的话题。早期的研究集中在理想实验和思辨上面。Bell在1960年代提出Bell不等式之后，这方面的研究才正式具备实验基础。人们发现有一类量子态无法写成子系统的直积形式，我们称之为不可分离的，或者说它是纠缠的。最简单的纠缠态就是Bell态：(|1>|0> + |0>|1>)/\sqrt{2}。

在我看来，对纠缠态本身的研究是非常数学化的。其实纠缠态的精确定义直接就是数学上的定义。自然，由于它自身的特性，我们可以把纠缠作为一种资源，用于通讯，计算等许多方面。可是物理学家更希望能够直接把纠缠态与物理性质联系起来。比如说，是否某些宏观物理量能够与体系的量子纠缠关联在一起，量子相变是否对应于量子纠缠特性的某种不连续性？从这个方面着手，目前物理学中非常热门的强关联与量子信息两个领域就有了共同语言。

类似于Bell不等式，要把纠缠态与某个宏观物理量联系在一起，我们也希望找到某宏观物理量，对于可分离态，它有一个极值点。如果实验上测出这个物理量在这个边界之外，我们就可以认定这个系统是纠缠的。比如2001年Nature上有就一篇论文（ Nature, 409, 68(2001)）给出了二能级原子系综形成BEC之后用某宏观观测量的方差作为体系是否是纠缠的判定条件。H. F. Hofmann 和 S. Takeuchi在2003年的PRA上发表的论文给出了判断两个子系统之间是否纠缠的一个一般性的宏观可观测量以及判定条件。不过很可惜，这些方案都是充分条件，它们无法判断出所有的纠缠态。比如，最一般的Bell态就无法用上述宏观可观测量来判别。

由于量子纠缠与宏观可观测量之间有这么直接的联系，进一步的它很可能可以标记量子相变以及强关联体系中的其它物理性质。对于强关联系统来说，粒子之间的关联不再仅仅限于近邻关联，整个系统全部都有关联。我们知道，量子纠缠实际上就是子系统之间的某种量子关联，它应该会影响强关联系统的物理性质。尤其是量子相变。我们知道，量子相变是发生在零温时的。这时系统处于其基态，没有温度影响，是一个纯态。对于这个系统来说，其粒子与粒子之间的关联应该与量子纠缠有很大的关系。不过我们现在研究的量子纠缠的度量大都集中在两体纠缠上面，对于三体以上的纠缠还不是很有效。而实际的强关联系统中不仅有两体关联，还有三体关联，甚至全部都关联在一起了。所以要研究这里的纠缠与相变的联系，现有的理论还是很不完备的。

现在看来，纠缠态实际上是量子系统中非常常见的，而且也非常的复杂。它与信息的传递，系统的耗散，量子测量等等许多问题都有关系。甚至可以说它是目前量子物理领域的一个核心问题。它是如此的重要，又是如此的复杂，令人困惑，这正是它如此吸引人的原因。

How to detect entanglement

As we know, entanglement is the most important resource in quantum information, quantum computation, et al. If we have got all the information of the system and can write down its state, we can use many criterions to judge whether the system is entangled or not. The most useful criterion is the “Peres criterion”. But in the laboratory it is very difficult to get all the information of the system. In this limited condition, how can we detect entanglement?

The physicist’s logic is very simple. In principle only Hermite physical quantity is measurable. For example susceptibility is measurable. If we can find some physical quantity that must be fulfilled some condition if the system is separable, we can use it to detect the entanglement. This quantity is called entanglement witness.

To get the condition of entanglement, uncertainty relation and Schwarz inequality should be used together with the definition of the separable state. Most of the witness are the variance of some quantity which could be detected directly. But no witness is good enough to detect all entanglement. For example, it is very difficult to detect the entanglement of the Bell state through entanglement witness. Many new witness will be introduced to improve detection efficient and detect more entangled states.

Back from Hong Kong

我前天从香港回来，回到了西安。

我等待了两天，等渐渐疏远之后才开始写这篇香港之行的日志。 我学到了什么？我问自己。我发现自己说不出来。短短的5天会议，被报告轰炸之后我确实想不出自己从中学到了什么。我能够肯定的是我见到了许多牛人，观察到了他们的一言一行。

会议的内容我大都听不懂，自己的底子还是太薄弱，英语听力也不够。 不过我大致能够了解别人在做什么东西。直接听论文的作者讲他的工作比看论文容易多了。与别人的工作对比，也能够看出我们的工作的不足。我自己的张贴报告做得还顺利，我向三位对报告内容感兴趣的教授解释了自己报告的内容。不过在做报告之前我就发现其中有一个疏漏没有解决，还好没有人问我。

日程很紧凑，我并没有多少时间欣赏香港的风情，算是一点小小的遗憾。 最后在我同学Roy的向导下我逛了逛香港的大商场，买了点东西，算是有所弥补。感谢Roy提供我在香港最后一天的住宿。

From ICQO, Hong Kong

I am writing the entrice by using the guest computer of Physics Department, CUHK during the lunch break of the conference.

Honk Kong is a beautiful city and the CUHK is very beautiful, too. The weather is perfect. Unfortunately, I can’t catch up with the lecturers’s English very well. I canot write more for time is limited. I will write an entrice including more details after returning to Xi’an.

Quantum jump and Conditional Hamiltonian

量子跃迁是量子力学中一个非常基本的概念。如果给我们一团原子，我们让这些原子初态都处于激发态，那么利用量子力学的理论我们能够计算出在t时刻还 剩下多 少原子处于激发态，这团原子幅射出来了多少光子。其实在计算中我们引入了量子跃迁的概念。我们无法知道某个原子在时刻t是否已经幅射了光子，但是我们可以 计算出它幅射光子的概率。这样对与有大量原子的系统来说，就可以算出一共多少个原子已经幅射出了光子。问题出现了：我们能否监测一个原子的量子跃迁呢？薛 定谔在1950年代对这个持否定的态度。毕竟当时的实验条件不足，而且人们对于量子跃迁是否能够用于单个原子信心也不足。

事情的转机出现在1970年代， H. G. Dehmelt提出通过观察荧光光谱来监测单个原子的跃迁。在1986年，终于有几个小组在实验上观测到了单个原子的量子跃迁 (Phys. Rev. Lett. 57 (1699), 1986)。 这是一个很了不起的实验，我们找到了一个强有力的工具来对量子系统进行投影测量。量子跃迁技术的物理思想很简单。比如说有一个原子，处于a与 b的叠加态，我们想看到原子在a与b之间的量子跃迁，这时可以引入第三个能级c。相对于a和b，c 的能级寿命必须非常的短。如果我们想把态投影到a上，我们就可以在b和c之间加一个强的驱动场，这样原子态会在b与c之间振荡。由于c的寿命很短，原子就 会发出很强的荧光。可是一旦某个时刻原子发生跃迁，跳到a态上了，这时由于选择定则，a与c之间无法有跃迁，于是荧光会突然的消失。这时我们可以说原子态 被投影到a上去了，我们观测到了单个原子的一次跃迁。注意，这种技术只能用来观测单个原子跃迁。对于一个原子系综来说，由于原子跃迁是随机的，所以荧光突 然降为零这个现象被抹平了，我们看到的是整体的平均效应。

下面我讲讲如何用量子跃迁的概念来讨论原子系统的耗散。比如说我们有一个原子束缚在一个与之共振的谐振腔中。原子与腔模相互作用有一个哈密顿量。如 果不考 虑耗散，我们可以很容易的得出这个哈密顿的解析结果，也就是所谓的拉比振荡。问题在于实际的系统中耗散不可避免，那么应该如何引入耗散项以方便我们讨论 呢？一种方法是主方程的办法，就是在刘维尔方程中加入耗散项，最终解出系统密度矩阵随时间演化。还有一种办法就是条件哈密顿量的办法。

我们知道哈密顿量是厄米的，薛定谔方程也是可逆的。可是一个实际的包含耗散的系统是不可逆的。在考虑耗散对系统的影响时，我们可以利用量子力学最基 本的概 念：量子跃迁。比如说我们现在讨论的系统，耗散来自与原子自发幅射以及腔中光子的损失。如果我们对这个系统进行观测，我们会发现对于某次实验来说有可能观 测到系统往外幅射出了光子，也可能观测不到光子。我们只关注没有幅射光子的情况，因为这对应于没有耗散。我们希望知道完成实验时，系统到底有多大概率不会 幅射光子。这样我们就引入了条件哈密顿量。这个哈密顿不是厄米的，解出来的波函数也不在保持几率归一。其实最后的归一化常数就对应了没有光子幅射时的概 率。知道了这个我们就能算出实验成功的概率有多大。

我觉得量子跃迁技术非常有意思，物理图象很简单，完全应该放入初等量子力学教科书中去。另外一方面，它也不那么简单，因为它给我们提供了一个强大的工具让我们了解量子系统的信息，让我们对量子系统进行精确的测量操作。我想这个技术也是量子信息理论与实验的基础。

参考文献： 《Quantum Optics》 M.O. Scully and M.S Zubairy, 第8章第5节以及章后相关的参考文献。

为什么要加腔？

我们做量子光学的有一个嗜好，那就是喜欢在一个物理系统上面加一个谐振腔。自然的问题来了，为什么要加腔，有什么好处？

我们知道，某个原 子自发幅射时，有可能向无穷个模式幅射光子。如果原子外面没有加谐振腔，那么原子与这无穷个模式的耦合是完全相同的，我们无法知道原子到底会幅射到哪个模 式上去。可是加上腔之后，情况就发生了变化。由于腔的存在，原子外部场的模式密度发生了变化。比如说，腔与原子共振时，原子与腔共振的那个模式的密度会增 大许 多。这样原子与这个模式耦合的强度就增大了。换句话说，原子自发幅射时落到这个模式上几率就增大了。在目前的实验条件下，原子与腔的耦合强度有可能达到原 子自发幅射率的一百倍。于是我们可以很清楚的观察到原子幅射光子到腔模上，然后又与腔模作用吸收光子，这个过程被称为拉比振荡。同时还会有另外一种情况出 现：如果腔模频率与原子跃迁频率相差很大，有可能会降低原子的自发幅射率，增加原子激发态能级的寿命。Kleppner组在1985年最早在实验观察到了这 个现象，当时他们把原子的寿命增大了20倍。要实现这个，需要制备微米级的微腔。腔量子电动力学由此也就蓬勃发展起来了。而如今为了实现量子计算与量子通 讯，制备好的微腔，实现原子与腔场的强耦合是一个很关键的技术。不仅如此，我们还需要把腔联结起来，形成网络让量子比特在这网络中流动。

加 上了腔，我们就可以控制原子与光场的量子态，可以大大减小退相干，可以通过实验检验量子力学的基本理论，并有可能制成量子计算机。自从激光器发明以后，对 谐振腔与原子相互作用的研究一直没有停止过。原子与光子通过腔联系到了一起。目前做量子信息的人很关心的一个问题就是如何在原子与光子之间进行量子态的转 化，既要效率高，又要保持量子态不失真。于是我们又要考虑光子如何进入腔，或者原子幅射光子，光子又从腔中跑出来等等这些问题。关于谐振腔，里面的问题真 是深不见底。

Notes on dissipation

How to consider the dissipation in quantum system, especially the cavity QED system? In my research, two different methods were used: master equation and quantum jump.

Let’s consider the main dissipation in the cavity QED system firstly. There are two channels the system lossing its coherence, the spontaneous emission of atoms and the cavity loss. The root of spontaneous emission is the coupling between atoms and the modes other than cavity modes. The state information losses during spontaneous emission. The coupling between cavity field and the atoms vibration located in the cavity wall lead to cavity loss.

The master equation method includes the dissipation via adding spontaneous emission and cavity loss items in the equation. To solve the equation, we should express the equation in the computational basis and solve the matrix equaition. This is not a easy task.

The quantum jump approach bases on the principle of quantum mechanics that the quantum system is probalisitic. During the evolution, for a single atom, it could jump and could not jump. If we focus on the latter condition, we can get the probability that the system doesn’t decay. Conditional Hamiltonian is defined to calculate this probability. This method is suit for the system contains a few atoms and cavity modes.

Exciting

这几天很兴奋，一是临近参加学术会议，二是我的研究工作又有了很大的进展。导师给我们提出了一个新的想法，而我居然很快的就证明了这个想法是可行的，而且在此基础上做了许多有意义的推广。发现新东西，提出新方案的感觉确实很不错。

最近有同学问我为什么不准备出国读书，而决心留下来读博士。我当时也说不出一个所以然来。现在我知道自己为什么会做出这样的选择了。 我读博士的目的是能够从事我喜欢的物理学，在量子信息与计算领域能够有深入的学习与研究。至于是在中国念书，还是在美国念书这不是关键。如今我既然能够在 国内就能做出好的研究，我为什么要花费那么多的精力金钱出国读书？我很幸运，遇到了一位好导师，思维活跃，经常给我们一些工作思路让我们做，我们又能够随 时找他讨论研究进展。最重要的，我感觉他做研究的方式很适合我，他也很器重我。留下来跟着他继续读博士，我相信能够有很大的收获。