我从2010年开始悬浮光力学的研究。2011年初，发表了第一篇这个方向的理论工作。2011年底，合作者李统藏建议研究带电粒子在环形光势阱中量子基态附近的稳恒运动。不久，我们发现诺贝尔物理奖获得者Frank Wilczek 教授在预印本网站上贴出了量子时间晶体的论文，与我们正在研究的问题很相似。仔细研究后我们发现，环形势阱中纳米粒子的量子基态对应的温度太低，实验无法实现。于是我们调整了模型，基于离子阱的提出了离子晶体基态附近的量子时空晶体理论，同时预言了时间准晶体的存在。我非常喜欢这个工作，专门写了科普文章介绍。
量子时间晶体的概念出现后，很快引发了巨大的争议。有人发表论文认为，在热力学极限下，基态附近的量子时间晶体是无法出现的。为了避开这些争议，人们又提出了离散时间晶体，此效应2017年已在实验中实现。不过很可惜，它不是系统的基态，只是周期性驱动下非平衡态的时间平移对称性自发破缺。即便如此，这仍旧让人们对实现原始定义的时间晶体有了更多信心，而且开始利用时间晶体提升计时精度。
加州大学伯克利分校的一个离子阱实验组对我们的量子时空晶体理论产生了兴趣，并申请经费开始做实验。过去几年，他们一直在参照理论搭建新的环形离子阱实验平台做实验。直到2017年他们才发表了此实验平台上的第一篇PRL，在2019年他们又做出另一个有趣的实验结果。这才是真正沉下心来做研究的例子。我们的理论工作发表后半年就被人质疑，我们答复质疑的文章都无法顺利发表，这让我们很受打击。而伯克利的这位教授不在乎外界质疑，只遵循内心，相信它有意思，值得研究，就一直坚持下来。
这对我触动也很大。面对质疑，我们一度也有些不知所措，只得回去专注研究光悬浮纳米粒子系统的宏观量子物理现象。直到2017年有实验实现离散时间晶体，以及伯克利这位教授组的实验，让我们重新回到这个领域。我们继续沿着最初的思路做下去，而不是随大流去做周期性驱动下的时间平移对称性自发破缺。我与西安交大的本科生黄奕和普渡大学的李统藏教授合作，很快发现某个精确可解的多体自旋模型的基态存在时间准晶体现象。这两年有实验与理论研究验证了时间准晶体，我们的两个理论工作均被引用。只要沉下心来，扎扎实实的做工作，就能获得收获。
有效时间晶体的西西弗斯运动
在2012年，除了量子时间晶体，Wilczek与Shapere教授也提出了经典时间晶体模型。但很可惜，此模型中处于时间晶体相的基态是能谱的奇异点。只是一个玩具模型，物理上很难实现。后继在此方向的研究并不多，大都瞄准宇宙学或者广义相对论，其中动力学拉氏量的基态有可能存在奇异点。但人们最关心的还是如何在实验室中验证理论。
Wilczek 教授顺着自己的思路继续做下去，一直在尝试改进此模型。他与Shapere研究了在平面上运动的带电粒子，在特定的磁场分布下，随着粒子质量很小，其某个方向的运动可以被绝热消去，从而得到另外一个方向上运动的有效拉氏量，它具有与经典时间晶体拉氏量完全一样的形式。他们发现，这个带电粒子在基态附近，任意小扰动，就可以进入所谓的西西弗斯运动，如上图所示。但仔细分析他们的结果可以看出来，这个西西弗斯运动的振幅与周期都依赖于初始扰动，如果扰动趋近于无穷小，振幅也是无穷小。由于这个模型运动周期对初始条件的依赖性，是无法用来作为时钟计时的。即使初始运动条件确定，西西弗斯运动的周期也没有完全定下来，存在随机的涨落，与具有确定周期的时间晶体不同。总之，虽然得到了有效时间晶体的拉氏量，这个系统的运动行为仍旧与真正意义上的时间晶体有很大差别。不仅如此，Wilczek 与 Shapere的理论假定粒子沿着空间某维度运动时的质量参数为零，而另一个维度的质量不为零，这也很难在实验中实现。
时间晶体的准稳态双势阱与真正基态势能曲线
黄奕跟我合作完成了有关时间准晶体的理论研究后，2018年春天继续跟我做与时间晶体相关的本科毕业设计。我们一直在关注时间晶体的研究进展，所以仔细分析了Wilczek等人的论文，希望能够找到物理实现方法。经过多种尝试后，我们又回到了熟悉的悬浮纳米粒子系统，考虑一个带电的非球形纳米晶体，用激光或者离子阱悬浮在真空中，纳米粒子的三维质心运动与两维转动都被束缚住，只留下一个转动自由度未被囚禁。在低温下，我们忽略平动自由度的影响，只考虑转动。如果再加上均匀磁场，系统的两个被囚禁的转动自由度（也就是摆动模）与一个转动自由度相互耦合。我们从理论上证明了，在强磁场或高荷质比极限下，可以消去两个摆动自由度，此时系统原来静止不动的转动基态将会退化为非稳态，持续转动的时间晶体态与基态之间的能隙会趋近于零。只需要无穷小的扰动，就可以让它进入绕着囚禁指向持续转动的稳态。换句话说，此时系统的基态将会自发的破缺时间平移对称性，呈现出时间晶体的特性。处于时间晶体态时，如上图所示，系统的有效势能曲线类似于一个墨西哥帽子，与我们讨论规范对称性自发破缺时的情形很类似。
此有效模型自发破缺基态的时间平移对称性之后的运动速度是确定的，并具备与初始条件无关的运动周期。而Wilczek的有效模型破缺基态的时间平移对称性后，其西西弗斯运动速度存在突变（数学上的奇异性），运动周期依赖于初始条件。相比而言，我们的模型，不仅避免了原始经典时间晶体模型基态能谱的奇异性，也避开了Wilczek等人所提出的有效模型中运动速度的奇异性和运动周期对初始条件的敏感依赖性，具有非常好的数学性质。
带耗散阻尼的系统运动
在实际实验中，我们只能让磁场或者电子密度尽可能的大，真正的无穷大是不可能达到的。此时时间晶体态是一个准稳态，与真正的基态之间还存在很小的能隙。为了确定理论的可靠性，我们用实验可行的参数进行了数值计算，发现理论结果与数值分析是一致的。在经典基态附近，只需要微小的扰动就可以让它进入时间晶体态，此时间晶体态运动与钟表的秒针特别像，可以用于计时。我们还发现，即使系统能量存在耗散，处于经典时间晶体态的转动角速度也不会下降，只有当能量耗尽时转动会突然停止，如上图所示。
我们也计算了有限温下的运动行为，发现经典时间晶体的相图为：零温下，系统被冻结，不存在时间晶体；有限温度下，出现时间晶体行为；温度继续上升，时间晶体熔化。我们用实验中的参数进行估算，时间晶体需要的温度在10mK量级，这可以通过激光反馈冷却而实现。在有限温度下，系统虽然没有破缺时间反演对称性，但是时间平移对称性能被破缺。此时转动的角速率基本确定，即角速率的方差小于角速率。而转动方向可以随机的在顺时针与逆时针之间变化。这个只破缺时间平移对称性的经典系统，可以被称为经典时间晶体，或者说是具有两种转动方向，但是时间上周期一定的 “时间多晶”。
在此基础上，我们把系统的哈密顿量量子化，求解其本征值和本征态。我们发现，系统的能谱有两个量子数 n 和 l ，其中 n 对应于时间晶体转动自由度的能级, l 对应于被绝热消去的摆动模的量子数。当l 很大时，n 的基态具有非零的机械角动量，与经典的预言一致。 l 趋近于0时，时间晶体角动量的平均值也会趋近于零，时间晶体现象消失。但是我们发现在非零的磁通下，量子涨落也可能破缺时间平移对称性，使得量子基态存在有非零的转动，或者说量子时间晶体。此时磁通先破缺系统的时间反演对称性，然后时间平移对称性也随之破缺。由此可见，我们的模型可以同时支持经典时间晶体与量子时间晶体。
回顾这些年我们在时间晶体领域做的研究，离不开悬浮带电荷的系统。从最早的环形光势阱中纳米粒子的基态稳恒转动，到提出离子阱中悬浮的量子时空晶体、时间准晶体，再到如今回到悬浮带电纳米粒子，发现其自传呈现经典时间晶体与量子时间晶体，乃至时间多晶的行为。就像时间晶体那样，我们的研究也是一个循环。
黄奕2018年本科毕业后来去了美国明尼苏达大学（UMN）念博士。我们继续合作，终于完成了这个工作。在英国伯明翰大学念研究生的熊安达，以及西安交大的本科生郭启淏参与了模型非线性动力学和量子基态的分析与数值工作。此研究也是我与美国普度大学的李统藏教授长期合作的悬浮光力学和时间晶体的延续。在论文撰写过程中，他深度参与了实验的可行性分析。
后记：还记得2012年上半年，我们开始研究量子时空晶体时，妻子正怀孕。所以我把那篇《时间晶体，把爱保存到宇宙尽头之后》的科普文章献给了她。这篇科普文章我要献给8岁的儿子，2012年，他与量子时空晶体论文一同诞生，一直都对“转转转”的东西特别关注，看来他对”时间晶体“有天生的兴趣。愿他永远保持好奇心，追求自己的梦想。最后，在论文快要完成时，碰到了肆虐全国的新型冠状病毒肺炎，我们不得不关在家中，以写论文的方式，度过了这个春节，同时也让我们能从疫情带来的焦灼感中解脱出来。
论文链接：Yi Huang, Qihao Guo, Anda Xiong, Tongcang Li, Zhang-qi Yin*, “Time crystal based on a levitated charged nanoparticle”, arXiv:2001.10187.
Yin Zhangqi's Blog 